Nagy port kavart a matematikusok
és filozófusok
körében az 1931-ben publikált Gödel-féle Nem-teljességi tétel,
miszerint bármely axiómarendszerre érvényes,
hogy léteznek benne olyan
állítások, melyek igaz vagy hamis volta a rendszeren belül nem
bizonyítható. Azaz bármely adott formális rendszerrõl elmondható, hogy
nem teljes, mert az igazság a benne bizonyítható tételek fölött áll. A
vezetõ matematikusok, akik akkoriban a végsõ matematikai elméleten
dolgoztak, csalódottan kellett szembesüljenek Gödel tételével, mert
megmutatta, hogy nincs remény arra, hogy az összes ismeret
egy teljes,
önmagát megmagyarázó rendszerezését elérjék.
Gödel a bizonyításnál egy önmagára hivatkozó állításból
indul ki. Azt mondja, legyen G a rendszernek egy önmagáról szóló eleme,
mégpedig, a G jelentse azt, hogy G nem tétele a rendszernek, azaz nem
bizonyítható. Vizsgáljuk meg, igaz-e
ez a G állítás. Ha nem igaz, akkor
G bizonyítható tétele a rendszernek. Így ellentmondáshoz jutottunk,
hisz G azt jelenti, G nem bizonyítható tétele a rendszernek. Ha viszont
G igaz, akkor G nem bizonyítható tétele a rendszernek. Igaz, és mégsem
bizonyítható a rendszerben. Tehát igaza van Gödelnek, hisz a rendszeren
belül találtunk olyan igaz állítást, mely nem bizonyítható. A
gondolatmenet párhuzamos a krétai Epimenidesz paradoxonával: "Minden
krétai hazudik.".
D. R. Hofstadter a Gödel Escher Bach - Egybefont
Gondolatok Birodalma c. munkájában az ilyen önmagába visszatérõ
paradoxont Furcsa Huroknak nevezi. A Furcsa Hurok mindig valami
végtelen dolog véges módon történõ ábrázolása (ld. mõbiusz-szalag). A
könyvbõl kiderül, hogy ezekkel a Furcsa Hurkokkal, azaz a véges és a
végtelen problémájával nem csak a matematikában találkozhatunk, hanem a
zenében és a képzõmûvészetben is. Bachnak van egy különleges három
szólamú kánonja, melynek alaphangneme C-moll, majd észrevétlenül vált
D-mollra, E-mollra, F és G- mollra, majd váratlanul újra C-mollra.
Hofstadter ezt "örökké emelkedõ kánon"-nak nevezi. Az önmagukba
visszatérõ Furcsa Hurkok képzõmûvészeti párhuzamát M.C. Escher holland
grafikus képeiben találja meg, melyek eredete paradoxon, illúzió vagy
kettõs jelentés. A képtelenségnek tûnõ "örökké emelkedõ kánon" egyik
képi megfogalmazása pl. az Emelkedés és ereszkedés c. litográfia,
melyen egy önmagába visszatérõ lépcsõt látunk oly módon, hogy egyre
följebb haladva végül a legmélyebb pontra jutunk.
Hofstadter, az emberi gondolkodást vizsgálva,
megállapítja, hogy a Gödel tétel bizonyításának önmagára hivatkozó G
állításához hasonló Furcsa Hurkok jellemzik önmagunkról való
gondolkodásunkat is: arra a kérdésre, hogy "Ki vagyok én?", csak
részlegesen tudunk válaszolni, mert a teljes válasz feltétele a
rendszerbõl, azaz az önmagunkból való kilépés lenne. Hisz Gödel tétele
alapján tudjuk, hogy azoknak a rendszereknek, melyek bizonyos mértékig
képesek önmaguk tükrözésére, (A G állítás is egy öntükrözés volt.)
alapvetõ korlátaik vannak. Az emberi gondolkodásnak, azaz az
intelligenciának fontos ismérve az öntükrözés, a rendszerbõl való
kilépés igénye, és ennek bizonyos fokú lehetõsége. Felmerül a kérdés,
lehetséges-e olyan mesterséges intelligencia létrehozása, mely
mindezekre az emberhez hasonlóan képes. Hofstadter válasza az, hogy ha
egy program képes arra, hogy módosítsa önmagát, akkor ezzel a
módosíthatósággal már kezdetben is rendelkeznie kellett. Így ez
voltaképpen nem igazi túllépés saját magán, azonban ez nem kevesebb az
emberi agy képességénél, hiszen a mi gondolkodásunkban is csak arra van
lehetõség, hogy agyunk egy alrendszerébõl egy tágabb alrendszerbe
kerüljünk. Ahogyan önmagunkról valamilyen képet tudunk alkotni, de nem
tudunk kilépni önmagunkból; úgy a számítógépprogram is képes önmagát
módosítani, de nem képes a saját utasításai ellen szegülni. Ahogyan
határai vannak az axiomarendszereknek, úgy az emberi gondolkodásnak és
az esetleges mesterséges intelligenciának is.
Az adott rendszerbõl (vagy önmagunkból) való kilépésre a
rendszeren belüli paradoxonok ösztönöznek minket. Különös, számunkra
szokatlan kilépési kísérlet a
zen, mely felismerve az intellektuális
megközelítés korlátait, attól távol tartva magát, a paradoxonokat nem
kiküszöbölni akarja, hanem pont ellenkezõleg: azokat "gondolkodásába"
szorosan beépítve, a világot, és benne önmagát a nem-értelmezés útján,
intuitívan próbálja megragadni. De a Zen sem lát a Zenen túl, és
korlátozott voltát a matematikusokhoz hasonlóan el is ismeri.
Hofstadter könyve - mellyel Pulitzer-díjat nyert - nem
más, mint világképének racionális magyarázata, noha a racionális
magyarázat lehetõségei eleve korlátozottak. Izgalmas olvasmány
mindazoknak, akik vonzódnak az absztrakt matematikához, filozófiához,
vagy egyszerûen a gondolkodáshoz. A húsz fejezet mindegyikét dialógus
vezeti be, melynek állandó szereplõi az éleai Zénontól kölcsönzött
Achilleus és Teknõs. Ezek a dialógusok szemléletesen jelenítik meg
azokat a gondolatokat, melyeket a rákövetkezõ fejezet elvontabban
tárgyal. Így ezek, amellett, hogy szórakoztatnak, könnyítik a
megértést. Az utolsó fejezet után még egy záródialógust olvashatunk,
melyben a szerzõ az összes fontos gondolatát szemléletesen megjeleníti,
sõt, furcsa hurok-szerûen önmaga is megjelenik, mint szereplõ, utalva
ezzel M.C. Escher: Rajzoló kezek c. képére, ahol két kéz egymást
rajzolja, de ahhoz, hogy ez megvalósulhatott, feltételeznünk kell az
alkotó rajzoló kezét, noha ez nem látható a képen. A sok sok
jelentésszint és értelmezési lehetõség gubancában felvetõdik a kérdés:
lehetséges-e, hogy Hofstadter, Achilleushoz és a Teknõshöz hasonlóan
szintén "csak" egy szereplõje egy történetnek? Ez az, amit Hofstadter,
mivel nem tud kilépni az esetleges "történetbõl", sohasem fog tudni
eldönteni.
További összefoglalók a következőről GÖDEL - ESCHER - BACH - Egybefont gondolatok birodalma